第2章 数学恐惧症:对学习的恐惧

数学恐惧症 害怕学习

柏拉图在家门口放了个标识,“只有几何学家可入。”时代变了,多数试图进入柏拉图精神世界的人不懂数学,对他的禁令也心安理得地视而不见。“人文”和“科学”之间精神分裂式的鸿沟使他们认为柏拉图是个哲学家,哲学就属于文科,就像数学就属于理科。

“人文”和“科学”之间的巨大鸿沟贯穿于我们的语言,世界观,社会组织构架,教育系统,在近年来甚至影响神经生理学理论。这一鸿沟还能自生自存:文化越分裂,分裂的各方越朝着相反的方向生长,进一步扩大分裂。

如我之前所说,计算机可以打破这两种文化间的间隔。虽然文科学者觉得自己的工作是洞悉人性,冷冰冰的科学技术也帮不上忙。理科学者觉得文科太空泛,不具备科学研究要求的严谨性。但在我看来,计算机的出现可以从认知层面减少这两种文化间的疏离。

当代文化对数学的集体恐惧其实来自于其疏离性。“人文主义”数学的诞生说明数学可以和人文研究相结合。在这本书中,我试图解释计算机如何让数学知识更为人性化,让儿童喜欢上数学。我想探讨的不止是数学这门学科,更是重新看待学习过程的视角。

许多成年人消极看待自己的能力短板,并将其归咎于数学没学好。数学没学好的直接影响是就业受限,但其间接影响更为深远。他们建立了一种世界观,不同的知识被割裂开来,中间出现无法穿越的铁幕。我这里主要想做的工作不是针对一块块知识领土的主权完整,而是清除人们跨学科思考的障碍。我不是要混淆数学和文学,他们虽然是不同的学科,但数学和文学在思维方式上的差异并没有人们想的那么大。所以在这本书里我用了‘数学王国’这样一个概念。在数学王国,数学就是自然语言。我用这个概念阐释计算机的出现将如何把人文与数学/科学相结合。从数学王国这个概念出发,我将论证计算机如何改变儿童数学教学方式,乃至于从根本上改变我们处理知识和学习的方式。

数学恐惧症

在我看来有两种“数学恐惧症”。一种是对数学的恐惧已经达到“恐惧症”的程度,另一种与其说是害怕数学,不如说是害怕学习。在我们的文化中,厌学的人比讨厌数学的人还多。儿童一开始读书都很有干劲,结果学习时受挫不断,尤其是在学数学的时候。这磨灭了他们的热情,使他们从一开始热爱学习喜欢数学,变得厌学还害怕数学。我们要探索这一转变是如何发生的,而计算机将如何避免儿童厌学,就要先回顾儿童学习的过程。

儿童学得快是毋庸置疑。以口语词汇为例,两岁时他们只会几百个单词,四年后一年级的孩子已经会说数千个单词了。显然,他们每天都在学习新词汇。

相对于词汇量的积累,他们学数学的进度就没那么直观了。皮亚杰毕生研究儿童智力的产生和发展,他的发现之一是成人往往不能理解儿童学习的内容和深入程度,因为从成人视角出发,很多 隐藏信息 都被当成默认条件。皮亚杰的存量理论就解释了这一点(见图2)。

液体的守恒 - 极客中心geekzl

图2 液体的守恒

大人可以一眼看出把液体从一个容器倒进另一个容器里,液体总量不变(洒出或残余在原杯中的少量水可忽略不计),这就是质量守恒。然而经皮亚杰的研究之后,人们才知道质量守恒这么简单的道理四岁的孩子可能完全不理解。存量不因容器而改变,这个道理儿童要经过一定程度的智力发育才能理解。此外还有数量守恒,大人知道计数时只要点清楚有多少件物品,用一个数字反映物品的件数,按什么顺序清点不会影响最终数额。但是儿童就不能把数额和物品脱离,他们的认识能力和世界观都无法理解为什么不同的算数过程得到的结果都是相同的。存量的概念就属于隐藏信息,这类数学知识需要儿童自己学习。 要是叫四五岁的孩子凭直觉回答,他们会说两点之间距离最短的路线不一定是直线,两点之间走得慢不见得就比走得快更花时间。他们这么想不仅是因为缺乏知识,还是因为讲到两点之间怎么走最短,他们想到的是不同人会有不同的走法,却没有两点之间线段最短的几何概念。

我们不能说孩子们无法理解这些概念是因为没读书。皮亚杰发现儿童其实有一套自己的逻辑,虽然他们给的不是标准答案,他们也能自圆其说。这些道理是儿童自发习得的,自成体系也非常完善。习得的过程包括至少两阶段:早在学前时期儿童就有一套关于世界的理论;随着他们成长,这套理论慢慢接近成人思维。这就是我所说的皮亚杰式学习法,它有效(所有孩子都学得了),成本低(不需要老师和教学大纲),人性化(不需要外部的奖惩措施,儿童自然而然就学会了)。

而许多人越长大越失去这种学习能力。有一部分人几乎完全放弃学习,很少进行刻意学习。他们觉得自己没有学习能力,也感受不到学习的快乐。这给个人和社会带来巨大损失:在精神上和物质上,数学恐惧症都是个人发展的拦路虎。大多数人没有数学恐惧症,但他们或多或少会否定自己在某些方面的能力,说自己“就是学不好法语,听都听不懂;”“我肯定不会做生意,我对数字没概念;” “我怎么会双板滑雪啊,我就是肢体不协调。”这些论调被他们奉为信条不断重复,越发认定自己就是不行。对于数学恐惧症的受害者来说,他们就认定自己学不了。这一章和第三章中里的一系列实验表明在友好的学习环境下,给予恰当的情绪支持和智力支持,四肢不协调的人也会杂耍,对数学没概念的人不仅能学好,还会爱上数学。

然而自我强化的力量是很可怕的,要是一个人坚信自己不懂数学,一看到跟数学相关的事就躲,自暴自弃的下场就是进一步强化“不懂数学”的信念。而这样的信念不仅存在于个体中,更植根进我们的文化里。

这年头的文化把人分成了“好生”和“差生”。每个人都会偏科,不同科目的学习能力强弱构成一个人的社会身份。有的人叫“数学小能手”,有的人叫“数学白痴”。

儿童最开始的学习经历往往决定了他们的偏科倾向。哪科没学好,一受挫就觉得自己成了差生,或者某科差生(最常见的就是数学差生)。他们一认定了自己是差生,再不断强化这个信念,自己也很难跳出这个死循环。

每个人的学习能力不同,各有各的局限,这一点我们不能轻易否定。不仅因为这个说法已被广泛接受,还因为这个说法貌似科学,心理学家也设计了学习能力量表对此进行证明。在“数学国”思维实验中,我们所质疑的是现有测试学习能力的手段。

现有的数学能力测试真的能分辨出真正的数学恐惧症患者吗?我们换一个角度,要是每天逼孩子花一小时在坐标纸上画舞步,参加舞步绘图测试,考试没通过就不能跳舞。孩子们会不会被逼成“跳舞恐惧症”?我们可以说那些通过舞步绘图测试的孩子就是“舞蹈学习能力强”?反之,孩子们不情不愿地做算术题,没日没夜地练习然后通过测试,这就算“数学能力强”了吗?不合适吧。

有人说这么模拟不恰当,应该用心理学方法收集“科学依据”。然而当代教育心理学研究的都是身处“反数学国”的儿童都是怎么数学(怎么放弃学数学)的。我们可以用另一个寓言来比喻这种研究方法。
想象一下,十九世纪的时候有个人觉得马车太慢,想要改进交通工具。他深信要创造新的交通工具,首先要研究透现有交通工具。他仔细研究各类马车的异同,研究不同轮子,轴承和套马方式怎么提高马车的速度。

我们知道后来真的诞生了新的交通工具--汽车和飞机。汽车和飞机是怎么来的?是通过研究马车怎样跑得快就发明出来的吗?并不是。我们今天的教学研究探讨的是现有的教学方法。很多研究探讨了学生在理科教育上颇为受挫的现实问题,人性化地提出“好的”教学法需要适应学生学不好理科这一现实。虽然这听起来颇为人道,但我认为正是这样的想法让教育机制停滞不前。这就像研究什么样的轴承可以提升马车车速,而真正解决问题的是用汽车取代马车。教育界需要发明出自己的“汽车”--突破性的教学法,而这也是本书的主题。从幼儿园开始,儿童就要分别测试语言能力和数理能力,好像这些能力都是各自独立的。这样的测试一直贯穿他们的求学生涯,融入各种考试机制,升学测试。考试成绩也成了孩子各方面能力的体现。一旦小孩子和孩子的老师都同意他文科好,理科不好,这个念头就开始生根发芽,他的偏科倾向也会越来越明显。其实还有其他深层次的原因会导致儿童偏科。我在吉姆八岁时开始跟踪他的案例,跟了一年。吉姆出生在知识分子家庭,他的语言能力很强,但有数学恐惧症。早在学前他就展现出语言天赋,很健谈。他的数学恐惧症是在上学后才出现的,而在我看来导致数学恐惧症的直接原因就是他语言上的早熟。从他爸妈那儿我得知吉姆从小就习惯用语言描述周遭事物,大声说出自己在做什么。这个习惯原先也没什么大不了,直到他开始上数学课才出问题了。即便他克制着不大声说出自己的心理活动,但我相信他在脑子里还不出声地念叨着自己在做什么。结果上数学课时他就不知道该怎么用语言描述算数的过程,就像我们多数人一样,他缺乏相关的词汇,也不知道这么算的目的是什么。因为不会用语言描述数学过程,他很受挫,转而讨厌数学,结果考试结果进一步证实他的数学能力不行。

吉姆的经历让我感到悲哀,他在智力上的优势反而成了缺陷。这样的案例也屡见不鲜,有一个患有阅读障碍的孩子其实逻辑很好,但学了英文拼写之后因为不愿背单词,结果就很讨厌写作了。

数学国的概念就是要以计算机为工具,帮助吉姆和那个患有阅读障碍的孩子跨越现有文化给数学能力和语言能力间设下的鸿沟。在数学国,吉姆对语言的热爱和他的语言技能将助力他的数学能力发展。而患有阅读障碍的孩子则可以运用他的逻辑优势培养他对语言学的兴趣。

不同的偏科倾向可能反映了大脑发育程度不同,对策就是调动儿童多方面的能力来从事不同类型的智力活动。普遍观点认为大脑里存在不同分区和器官,分管着数学和语言能力。根据这一观点,儿童根据不同的大脑发育倾向被分为文科生和理科生。然而用解剖学的大脑发育结果去推断儿童的认知能力,这样的认识方法真的对吗?根据这种论调,在人体解剖结构上只有一条通往数学能力的路,如果此路不通,那小孩就学不了数学了。事实上,这年头的孩子要学数学确实只有一条路,就是课堂上的数学课。即便脑生物学进一步证实有些孩子在生理结构上确实没有管理数学能力的那部分器官,这也不意味着数学能力完全依赖于大脑里的某部分器官,我们还可以找到其他行得通的路。数学能力取决于大脑里某块区域这样的论调是社会建构出来的,其实还有其他路径能行得通。

为了方便讨论,我们先假设在大脑里确实存在一个分管数学的分区,我们管它叫数学习得机制(MAD, Math Acquisition Device)。基于这一假设,我们认为现在的数学学习方法经过不断改进和调整,可以充分发挥数学习得机制功能,让人们有效地学习数学。虽然这些方法对多数人有效,对社会整体而言有效,但要碰上有的人因为种种原因数学习得机制受损失灵,那这样的方法就不起作用了,这些人在学校也拿不到好成绩,被诊断为“计算障碍”。如果我们执意让这些孩子照着传统模式学数学,那考出来的成绩自然“证明”他们就是“计算障碍”。按这个逻辑,那聋人因为失聪,学不了说话,他们就该有“语言障碍”了?事实是他们用手语绕开发声器官,用眼神和手势来表达。所以对于数学习得机制受损的人,我们是否能找到一套学习数学的新方法,让他们不使用数学习得机制也能学好数学。

我们甚至不需要用神经生理学的方法去解释为什么有些儿童学不好数学。就说之前那个学舞蹈的例子,要是舞蹈课上没有音乐,也不在舞池里跳舞,光叫学生在坐标纸上画舞步,肯定很多人都学不好跳舞。当前教育的问题是儿童不知道学数学有什么用。现在学数学就是生搬硬套,数学知识和现实是脱节的。在计算机普及之前,我们的日常生活和数学原理并没有什么可结合的点。如今计算机被应用于家庭,学校,办公室等各个角落,而计算机又是“用数学说话”的。所以我们的日常生活因为计算机的存在,和数学更紧密地结合起来。我们所面临的挑战就是找到恰当的方式把数学与实际生活相结合。

虽然其他学科也存在和现实脱节的现象,但数学应该是最典型的例子了。很多读者可能希望我换个话题不要再讲数学。我们的文化太惧怕数学了。如果我可以证明计算机可以重新定义我们和数学的关系,就有充分依据证明计算机也可以让我们不再害怕其他学科。使用计算机进行数学国的试验时,数学就是自然语言。人们试着用数学对话,很多过去觉得困难的事,可能谈笑间不知不觉就做到了。计算机不是拿来机械地教授知识,而是让人们重新发现自己的数学能力。

基于计算机的数学国概念其实是皮亚杰自然学习法的延伸,把这一方法从学习第一语言应用到学习数学上。皮亚杰学习法讲究沉浸式学习,比如婴儿并没有专门的学说话的阶段。而孤立式学习就是把学习活动和其他活动剥离开来,在心理和生理上都独立于其他活动。我们文化中的数学课就是采用孤立式学习的模式,这样的文化仿佛给学数学这件事加上围城。在LOGO环境中,我们则要卸下围城,身处其中你意识不到哪些计算机操作是用来学数学的。

让数学“有意义”和让“形式描述型语言”有意义在根本上都是一样的问题,虽然人们通常不认为学语法和学数学是一回事,语法令人头痛的程度可能仅次于数学。在我们举例说明计算机如何赋予数学意义之前,我们先来看看计算机如何让形式描述型语言有意义。

在为期一年的研究中,我们把计算机带入一群“资质平平”的七年级学生的课堂,教他们“计算机诗歌课”。在课上,学生们用计算机程序生成句子,先设定好句法框架,然后随机选词填进框架里,最后写出范例中的短诗。在这过程中有个学生让项目人员颇为感动,她叫简妮,十三岁。第一天上计算机课时她就问:“我们又不是学霸,为什么会被选中参加这个项目?”我们的初衷就是选取成绩平平的学生参加项目。有一天,简妮特别兴奋地公布她的发现:“我知道为什么会有名词和动词了!”简妮和语法苦苦斗争好多年,就是学不明白名词、动词、副词的差别在哪儿。现在看来,导致她学不好的原因不是因为词性分类太难,而是因为她不明白这么分类的意义。她问老师为什么会有语法规则,老师也只是含糊地说“学好语法让你说话更有水平”。


因为甜美的史努比尖叫了,所以诞生了疯狂的白痴
性感的狼爱了,因此性感的女郎恨了
丑陋的男人爱了,因为丑陋的狗恨了
愤怒的狼恨了,因为疯狂的狼跳了性感的白痴尖叫了,所以性感的白痴恨了
消瘦的史努比跑了,因为臃肿的狼跳了 甜美的弗吉尼跳了,臃肿的女郎跑了
-- 简妮的小短诗


简妮这个年纪还看不出学好语法和说话有水平的联系,也不觉得她需要靠学语法才能好好说话,所以她排斥学语法。这种排斥的心态自然让她学不好语法。但现在她要让计算机生成诗歌,她自己就要先把词汇归类。为了让计算机写出象样的英语,她要教会计算机选对词性,这样的学习过程是有深度有意义的。她明白了为什么会有不同的词性分类。她不仅理解语法,还喜欢上语法,真正把语法吃透,学进去了。这一年的计算机教育让简妮更有自信,学习成绩提高,从一个资质平平的学生成长成优等生。她知道自己也可以当学霸。

为什么孩子们觉得学数学和语法没意义?因为他们身边就没人觉得数学和语法有意义。所以要让孩子们心甘情愿学数学学语法不是老师在黑板上写写画画就行得通的。我问许多老师家长对数学的看法,他们说不清为什么孩子们要花上千小时学数学,孩子们也察觉得到这点。要是说学好数学是为了在超市买东西懂得找钱,老师自己都不信。孩子们也觉得大人是在骗小孩。就像老师嘴上说数学很好玩,下了课他们也不想碰数学。他们说学好数学可以当科学家--问题是有几个小孩真心想当科学家了。孩子也看得出来他们老师也没多喜欢数学,教数学不过是为了应付课程要求。这让孩子们对大人的话和教育的意义失去信心,乃至于在教育中埋下了“虚伪”的种子。

孩子们对老师这套说辞不买账。要转变这种情况,我们要先认识到孩子在课堂上学的数学确实没意义,不好玩,乃至于没什么用。当然,也有些孩子把数学当游戏,数学对他们来说就是好玩有意义的。
有各种手段可以让数学成为游戏,有的人以得分为乐,有的人炫耀自己比老师都聪明。还有好些人就喜欢机械地刷题,最好上课就是做题,反正不费脑子。但我说这些都不是孩子真正喜欢的。数学课的本质还是枯燥乏味的,只是思想活络的孩子可以自我创造出乐趣。

我们要把数学这个学科和学校里的数学课区分开来。数学学科探究范围很广,连门外汉都感叹其精妙。至于学校里的课堂数学,就是另一回事了。

在我看来,课堂数学就是社会构建出来的,就像QWERTY键盘一样。历史上一些偶发事件让当时的人们决定哪些内容应该被放进数学课本里,就像QWERTY键盘的存在也有其历史背景。哪怕当年的内容已经不符合时代需要,人们还依旧沿用,并试图将其合理化。对于多数人而言,他们也想不到数学课还能变成什么样,毕竟他们的数学知识都是这么学到的。为了打破这一恶性循环,我要引领读者了解新的数学领域。我和同事们为儿童开发的第一门形式数学课叫做乌龟几何。乌龟几何的设计初衷就是把数学课上的内容在现实场景中还原。

有些数学知识曾经很实用。在计算机诞生前,人们要会心算速算。但现如今计算机随手可得,就没要让孩子花时间练心算题。我不否认很多数学知识还是很有价值,但课堂数学的教学内容应是相互贯通,有条有理的。陈旧无用的内容应该被抛弃。

除了实用性,有些数学知识之所以会走进课堂是因为方便教学。比如在计算机诞生前,教室里只有纸和笔。只要有纸笔孩子们就能画出图形了,于是就有了各色绘图题。比如在课堂上,解析几何基本等同于绘制函数图像,所以读过书的人大多记得y=x²是一条拋物线。虽然多数父母也不知道这有什么用,但如果他们孩子不懂这点的话他们就很生气。他们认为学这些一定是有原因的,讽刺的是数学恐惧症让他们不敢去深究学习这些知识的原因。很少有人知道课堂上教这些内容的原因只是因为以前的人只有纸笔,而拋物线好画!现在有了计算机,许多原有的技术限制就会被打破,课堂上可以学习的知识范围将大大拓展。

除了方便教学,课堂数学还要考虑学习内容是否方便打分。人们正常交谈时用的语言,不用老师一句句检查,一句句打分,只有没有实际用处的语言才需要老师不断地指点。在课堂中,算出来的总额对不对一目了然,所以让学生做很多计算题的唯一好处就是计算结果很好改,就因为这点,计算题成了课堂数学的重中之重。我强烈怀疑没有实际用处的数学更加好评分,而课堂数学在一开始设置时考虑的是打分是否方便,演示数学知识就靠小棍,沙堆,粉笔,黑板,铅笔和纸。这么做的结果就是舍本逐末,不是考虑什么内容该学,而是考虑什么内容容易打分。只有容易打分的部分才能被选进教材,结果课上的数学知识就失去了连贯性。

面对这一问题,有两种做法。传统的做法就是保留教学内容,换汤不换药。结果就是以计算机的形式教过去的内容,只是换了种形式的填鸭式教育,学生学不好的内容依然还是学不好。而乌龟几何中计算机的作用完全不同。计算机成为数学表达的载体,我们用这一载体设计适合儿童,前后连贯,由浅到深的数学内容。与其说“如何用计算机教好现有的数学知识”,我们倡导的是“重新解构数学”,乃至于重新解构知识,以更轻松的方式教授知识。

“课程开发”是对知识的重新解构。60年代的“新数学”运动就试图改变课堂数学的内容,然而他们只停留在做算术题的程度,只不过从算数字变成了算方程组,从十进制变成二进制,变化不大。此外,这场运动也没有激发出创造性火花,“新数学”运动名不副实,只是从数学家的角度对原有上课内容进行微调,删删改改,而不是发明出适合儿童的数学学习方法。就像让小孩穿哥哥姐姐淘汰的旧衣服,肯定没有穿自己的衣服合身。

乌龟几何就是为儿童量身定做的,在适合儿童的前提下,它也包含了严肃的数学知识。形式要适合儿童,内容还要教严肃的数学思维,这两者并不冲突。相反,我们要认识到很多个人体验其实都包含深刻的数学知识,例如儿童在生活中自然就接触到了关于空间和运动的知识。乌龟几何则把数学知识和这些个人体验相结合。我和同事在开发乌龟几何时就制订了以下基本原则。首先是延伸原则。我们教授的数学知识是日常生活的延伸,儿童学习时就倍感亲切,也觉得学着有用。第二点是力量原则:知识就是力量,只有学了这些知识,孩子才能完成对他们而言有意义的工作。最后一点是文化共鸣原则。课堂上的主题是孩子们能明白的。要是学的内容连大人自己都不接受,还要灌输给孩子,那孩子又怎么能学好呢?



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